すばる主焦点カメラにおける微分大気差の影響と
露出時間限界の評価
すばる主焦点広視野カメラのように広い視野を
持つカメラでは
微分大気差による星像の浮き上がりによって、
時間とともに焦点面上での天体の相対位置が変化し、
視野が歪んで像が悪化する事が知られている。
本レポートでは、この位置変化量を計算し、
像の悪化をさせないためには露出時間を
どの程度に押え込めばよいのかを評価する。
モデル
まず、望遠鏡の制御は、
視野のＹ軸を常に赤経軸に平行であるように保ちながら、
視野中心にある天体で望遠鏡をガイドする、とした。
像の浮き上がりは天頂から天体へ下ろした
大円に沿って動くものとし、その大きさは
田中(1993) のマウナケア山頂のモデル
r=35''.746 tan z - 0''.0431 tan^3 z + 0''.000164 tan^5 z
を用いて計算した。
r が大気差であり、z は天体の天頂距離である。
焦点面への投影には収差は考慮せず、
赤道座標 (α,δ) を
浮き上がった視野中心天体を中心にした
心射で (ξ,η) 平面に投影し、
この平面上で像の移動を調べた。
結果
以上のモデルに基づいて、
視野中心の赤緯
δ は (+80,-40) の範囲で 10 度間隔、
時角 HA は (-3h,+3h) の範囲で 0.5h 間隔、
天体は画像中心から
α/cos(δ)= 0,± 15'
δ=0,± 15 ' のうち視野中心を除いた 8 点に
ついて焦点面上での位置を計算した。
結果の一部を図
1a
1b
1c
1d
に示す。
このような動きは過去報告されているモデル(eg. Bowen (1967))
とよくあっている。
次に、視野中心の赤緯 (δ_c)
を与えておき、ある時角 h から露出を開始した場合、
何秒露出をすると像の移動量の最大値が 0.1 arcsec
を越えるかを計算した。
(PSF の FWHM が 〜 0.3 arcsec として、
像の移動量 0.1 arcsec を許容像劣化の限界とした。)
この結果を横軸を sec(z) に取った図が
図 2 である。
微分大気差の影響は同じ sec(z) であっても、
(δ,h) によって異なるが、この図の edge-line が
目安を与えている。
この図より、例えば
最悪の場所に対しては、
天頂距離 30 度 (sec(z) = 2/√3 = 1.15)
付近で、露出時間限界は 2400 秒 (40 分) であり、
天頂距離 45 度 (sec(z) = √2 = 1.41) では、
1500 秒 (15 分)
であることがわかる。
視野の場所によっては、微分大気差による
視野歪みの主要な成分が視野の回転になる。
すばるでは、instrument rotator があるので、
このような場所では、像の回転成分を取り除き、
露出可能時間の延長を図ることも可能である。
最適回転を行なった（画像での回転成分を全て取り除いた）
場合のシミュレーションが 図 3 である。
視野の赤緯によっては露出時間限界が延びる場合もあるが、
その大きさはたかだか 1800 秒 (30 分) 程度であり
最悪の場合は、回転を加えない場合と
ほとんど違いがないことがわかる。
このことは、何枚もの露出を重ねる場合であっても、
天頂角が１時間以上違うものを使う場合には、
像の精度を出そうとすると、スケール補正、歪み補正が
必要になるということを意味している。
まとめ
-
微分大気差による星像の移動の許容量を 0.1 arcsec とすると、
最悪の露出時間限界は、
それぞれ、
z = 30 度 で約 40 分、
z = 45 度 で約 15 分となる。
ただし空の場所によってはこれ以上が可能な場合もある。
-
実際にはガイドは視野端の星を使って行なうことになるであろう。
この場合、予め微分大気差の影響を推定しておき視野中心において
正しくガイドしていることになるようガイド量に
補正をかける必要がある。
これに関しては検討が必要である。
-
以上のような限界の計算、補正を行なうために、
観測計画が決まったら、それに応じて
微分大気差の影響を計算したり、
それを考慮して望遠鏡のガイドにフィードバックを
かけられるようなソフトウェアが制御用計算機に
組み込まれることが必要である。
reference
Bowen, I., S. QJ 1967 8 , 9
田中済 1993, 国立天文台報 1 , 349
図の解説
Fig 1a:
焦点上での天体の動きを
δ=+60° で求めた。
時角 HA は (-3h,+3h) の範囲で 0.5h 間隔、
天体は画像中心から
α/cos(δ)= 0,± 15'
δ=0,± 15 ' のうち視野中心を除いた 8 点に
ついて焦点面上での位置を計算し、
一つの図にまとめた。
スケールは焦点面中心で 1 arcsec に相当する量である。
Fig 1b:
Fig 1a と同じ。
δ=+30°
Fig 1c:
Fig 1a と同じ。
δ=+0°
Fig 1d:
Fig 1a と同じ。
δ=-30°
Fig 2:
ある δ に対して、ある HA から
露出を開始したときに、
視野端の天体の移動量の最大値が 0.1 arcsec を越えない
限界の露出時間 (sec) と
その露出開始時での sec(z) の関係。
変数の範囲は、
時角 HA は (-3h,+3h) の間を 0.5h 間隔、
δ は (+80,-40) の範囲で 10 deg 間隔で
計算した。
Fig 3:
回転成分による像劣化を修正した場合の
限界露出時間と sec(z) の関係。
変数の範囲は Fig 2. と同じ。
付録：計算手法
本計算ではベクトルを用いた計算を行なった。
まず、天球を単位球に取って、
天の北極を (0,0,1)
視野中心を \vec{s_c}=(cos(δ),0,sin(δ)) ととる。
この時、天頂は観測所の時角 h を用いて
\vec{z}=(cos(h)cos(φ),sin(h)cos(φ),sin(φ))
と書ける。（時間とともに h は増加）
この時、天頂距離 z_c は
cos(z_c) = \vec{s_c} ・ \vec{z}
と書け、
tan(z_c) = √{1/(cos^2(z_c))-1}
を使って、浮き上がり r_c
r_c=35''.746 tan(z_c) - 0''.0431 tan^3(z_c) + 0''.000164 tan^5(z_c)
は簡単に計算できる。
この r_c を用いて、視野中心の座標は、
\vec{s'_c}=(cos(r_c)-(sin(r_c))/(tan(z)))\vec{s_c}+(sin(r_c))/(cos(z)tan(z))\vec{z}
と書ける。
同様に視野中心から (dα,dδ) 離れた天体
\vec{s}=(cos(dα)cos(δ+dδ),
sin(dα)cos(δ+dδ),
sin(δ+dδ))
に関しても
\vec{s'}=(cos(r)-(sin(r))/(tan(z)))\vec{s}+(sin(r))/(cos(z)tan(z))\vec{z}
と計算できる。
この\vec{s'}を\vec{s'_c} 中心に投影する。
北極ベクトル \vec{p}=(0,0,1) を用いて
ξ=\frac{1}{\vec{s'}・\vec{s'_c}}
\frac{(\vec{s'_c}×\vec{p})}{|\vec{s'_c}×\vec{p}|}・\vec{s'}
η=\frac{1}{\vec{s'}・\vec{s'_c}}
\frac{(\vec{s'_c}×(\vec{s'_c}×\vec{p}))}{|\vec{s'_c}×\vec{p}|}
・\vec{s'}
となる。
がーん。やっぱり HTML にすると数式はだめだな。
